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三角形中的向量问题

时间:2022-12-01 05:08:57 来源:网络整理 转载:www.qvrv.cn洮南门户内容****周到家园网
三角形中的向量问题

历年的高考命题中“三角形的四心”显得非常重要.平面几何中三角形的四“心”,即三角形的内心、外心、重心、垂心.在引入向量这个工具后,我们可以从动和静两个角度看三角形中的四“心”的向量表示,其一可以使我们对三角形中的四“心”有全新的认识;其二使我们对向量形式的多样性和向量运算的灵活性有更清楚的认识.

(1)重心:三条中线的交点,重心将中线长度分成

.

(2)外心:三边中垂线的交点(外接圆的圆心),外心到三角形各顶点的距离相等.

(3)垂心:三条高线的交点,高线与对应边垂直.

(4)内心:三条内角平分线的交点(内切圆的圆心),角平分线上的任意点到角两边的距离相等.

(5)奔驰定理:

内一点,则有:

.

****以2016年四川高考理科数学第10题为例做深入剖析.

高考真题

·四川卷理·

】在平面内,定点

满足

 =

=

,

=

=

=

,动点

,

满足

=

,

,则

的最大值是(     )

A.

      B.

      C.

      D.

解题策略

本题若只用向量自身的知识和方法解决,则需用向量法;本题若不用向量法,则可考虑先建立直角坐标系(坐标法),然后用三角法或解析法解决问题.如果从条件和问题的几何意义来思考和处理问题,运用数形结合思想,则可用平面几何知识直接简洁解答.因此,本题的解答可以涉及4大基本方法:向量法,坐标法,三角法,解析法;也必涉及求最值的一些方法.本题考查了数形结合、化归与转化等思想.

解题过程

(实质上

的外心),

则由

=

=

=

(亦可得

的垂心,外心和内心重合即可确定

为等边三角形),

,且

,

于是,点

在以

为圆心,

为半径的圆上,

,即

为等边三角形,如下图所示:

中点,则

,

,

由三角形不等式得

,

,当且仅当

同向时等号成立,

的最大值是

,

的最大值是

,故选B.

解题分析

知, 

的外心.由

=

=

的垂心,所以

为正三角形,易知其边长为

,取

 的中点

,因为

的中点,所以

 ,所以

 ,则

.故选B.

拓展推广

1.三角形五心的向量表示

在平面上一点,角

的对边分别为

,则:

(1)

的外心(三角形三边中垂线的交点)

.

(2)

的重心(三角形三边中线的交点)

.

若动点

满足

,

,则动点

的轨迹一定经过

的重心.

(3)

的垂心(三角形三条高线的交点)

.

若动点

满足

,

,则动点

的轨迹一定经过

的垂心.

(4)

的内心(三角形内角平分线的交点)

.

若动点

满足

,则动点

的轨迹一定经过

的内心.

(5)

的旁心

.

2.奔驰定理及相关考点

定理:如图,已知

内一点,则

.

因为这个定理的图形和奔驰汽车的

很相似,故形象地称其为“奔驰定理”.

  

证法:如图,延长

,易得

,

,

,

整理可得

.

相关考点:若

内任意一点,有

,则

(已知向量等式,求面积比之间的关系类题目)

为重心,

;

为内心,

;

为外心,

;

为垂心,

,

.

证明:如图

为三角形的垂心,

,

,∴

,

,

同理得

,

.

变式训练1

 

所在平面上一定点,动点

满足

,则点

的轨迹一定通过

的( )

A 内心

B 垂心

C 重心

边上的中点

变式训练2

 

所在平面上一定点,动点

满足

,

,则点

的轨迹一定通过

的( )

A 外心

B 内心

C 重心

D 垂心

变式训练3

 已知非零向量

满足

,

为( )

A 三边均不相等的三角形

B 直角三角形

C 等腰非等边三角形

D 等边三角形

变式训练4

 点

内部满足

,则

__________.

变式训练5

 已知

的垂心,且

,试求

的度数

答案

变式训练1

C 重心

(

边的中点)知

三点共线(因

)

故知点

的轨迹为

边的中线所在直线,故点

一定通过

的重心.

变式训练2

A 外心

先取

边的中点,即

,

原式可化为

,

又因为

.

即可得

,知点

的轨迹为

边的中垂线,故其轨迹必过外心.

变式训练3

D 等边三角形

:表明

的平分线也垂直于

(三线合一),知

等腰三角形;由

:得到

:两者结合得到

为等边三角形.

变式训练4

 

法1:由奔驰定理易知:

,故

.

法2:

,(取

的中点,

的中点)

易得:

三点共线,且

,从而得到:

.

变式训练5

 见解析

的外接圆半径为

,点

的外心,

的垂心,∴

,

,

,

,

,

,

,∴

,∴

,

的内角。∴

,从而

,

的度数为

.

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